xy2在x2+y2<=4的定义域内的二重积分为多少
宝宝取名 | 2025-07-22 15:12:42
为了计算二重积分 \(\iint_{D} xy^2 \, dx \, dy\)，其中 \(D\) 是由不等式 \(x^2 + y^2 \leq 4\) 定义的圆域，我们可以使用极坐标来简化积分过程。
在极坐标中，\(x = r \cos \theta\) 和 \(y = r \sin \theta\)，且 \(x^2 + y^2 = r^2\)。此外，\(dx \, dy\) 变为 \(r \, dr \, d\theta\)。
给定的圆域 \(D\) 可以表示为 \(0 \leq r \leq 2\) 和 \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)，因为圆的半径是2。
现在我们可以写出二重积分：
\[
\iint_{D} xy^2 \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (r \cos \theta)(r^2 \sin \theta)^2 r \, dr \, d\theta
\]
\[
= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^4 \cos \theta \sin^2 \theta \, dr \, d\theta
\]
首先对 \(r\) 积分：
\[
\int_{0}^{2} r^4 \, dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}
\]
然后将结果与对 \(\theta\) 的积分相乘：
\[
\frac{32}{5} \int_{0}^{2\pi} \cos \theta \sin^2 \theta \, d\theta
\]
要计算这个积分，我们可以使用 \(\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta\) 来简化积分。令 \(u = 2\theta\)，则 \(du = 2d\theta\)，所以 \(d\theta = \frac{du}{2}\)。当 \(\theta\) 从 0 变化到 \(2\pi\) 时，\(u\) 从 0 变化到 \(4\pi\)。
\[
\int_{0}^{2\pi} \cos \theta \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{4\pi} \cos \frac{u}{2} \sin^2 \frac{u}{2} \, du
\]
\[
= \frac{1}{2} \int_{0}^{4\pi} \left( \frac{1 - \cos u}{2} \right) \sin^2 \frac{u}{2} \, du
\]
\[
= \frac{1}{4} \int_{0}^{4\pi} (1 - \cos u) \sin^2 \frac{u}{2} \, du
\]
使用 \(\sin^2 \frac{u}{2} = \frac{1 - \cos u}{2}\) 进一步简化：
\[
= \frac{1}{4} \int_{0}^{4\pi} (1 - \cos u) \frac{1 - \cos u}{2} \, du
\]
\[
= \frac{1}{8} \int_{0}^{4\pi} (1 - \cos u)^2 \, du
\]
\[
= \frac{1}{8} \left[ u - 2\sin u \cos u + \frac{\sin^2 u}{2} \right]_{0}^{4\pi}
\]
由于 \(\sin u\) 和 \(\cos u\) 在 \(0\) 和 \(4\pi\) 处的值为0，所以：
\[
= \frac{1}{8} \left[ 4\pi - 0 + 0 \right] = \frac{1}{8} \cdot 4\pi = \frac{\pi}{2}
\]
将结果代回原积分：
\[
\frac{32}{5} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{16\pi}{5}
\]
所以，二重积分 \(\iint_{D} xy^2 \, dx \, dy\) 的结果是 \(\frac{16\pi}{5}\)。
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